Mouvement Moyenne Ma (Q)

Modèles ARMA (p, q) pour l'analyse des séries temporelles - partie 2 Dans la partie 1, nous avons considéré le modèle autorégressif d'ordre p, également connu sous le nom de modèle AR (p). Nous l'avons présenté comme une extension du modèle de marche aléatoire dans une tentative d'expliquer la corrélation série supplémentaire dans les séries chronologiques financières. En fin de compte, nous avons réalisé qu'il n'était pas suffisamment souple pour saisir véritablement toute l'autocorrélation des cours de clôture d'Amazon Inc. (AMZN) et de SampP500 US Equity Index. La raison principale pour cela est que ces deux actifs sont conditionnellement hétéroscédastic. Ce qui signifie qu'ils sont non stationnaires et ont des périodes de variance variable ou de regroupement de volatilité, ce qui n'est pas pris en compte par le modèle AR (p). Dans les futurs articles, nous finirons par construire les modèles de la moyenne mobile intégrée (ARIMA), ainsi que les modèles hétéroscédastiques conditionnels des familles ARCH et GARCH. Ces modèles nous fourniront nos premières tentatives réalistes de prévision des prix des actifs. Dans cet article, cependant, nous allons introduire la moyenne mobile de l'ordre q modèle, connu sous le nom MA (q). Il s'agit d'une composante du modèle ARMA plus général et, en tant que tel, nous devons le comprendre avant d'aller plus loin. Je vous recommande vivement de lire les articles précédents de la collection Analyse des séries chronologiques si vous ne l'avez pas fait. Ils peuvent tous être trouvés ici. Moyenne mobile (MA) Modèles d'ordre q Un modèle de moyenne mobile est semblable à un modèle autorégressif, sauf qu'au lieu d'être une combinaison linéaire de valeurs chronologiques passées, il s'agit d'une combinaison linéaire des termes de bruit blanc passés. Intuitivement, cela signifie que le modèle MA voit de tels chocs de bruit blanc aléatoire directement à chaque valeur courante du modèle. Ceci est en contraste avec un modèle AR (p), où les chocs de bruit blanc ne sont vus que de façon indirecte. Via une régression sur les termes précédents de la série. Une différence essentielle est que le modèle MA ne verra jamais les q derniers chocs pour un modèle MA (q) particulier, alors que le modèle AR (p) prendra en compte tous les chocs antérieurs, bien que de façon décroissante. Définition Mathématiquement, le MA (q) est un modèle de régression linéaire et est structuré de la même façon que AR (p): Moyenne mobile Modèle d'ordre q Un modèle de série temporelle,, est un modèle de moyenne mobile d'ordre q. Où est le bruit blanc avec E (wt) 0 et la variance sigma2. Si nous considérons l'opérateur de décalage vers l'arrière. (Voir un article précédent), alors nous pouvons réécrire ce qui précède en tant que fonction phi de: begin xt (1 beta1 beta2 2 ldots bétaq q) wt phiq () wt end Nous allons utiliser la fonction phi dans les articles suivants. Propriétés de second ordre Comme avec AR (p), la moyenne d'un processus MA (q) est nulle. Cela est facile à voir car la moyenne est simplement une somme de moyens de termes de bruit blanc, qui sont tous eux-mêmes zéro. Commencement texte enspace mux E (xt) somme E (wi) 0 fin début texte enspace sigma2w (1 bêta21 ldots beta2q) fin texte enspace rhok gauche 1 texte enspace k 0 somme bêta beta bêta bêta2 texte enspace k 1, ldots, q 0 texte Enspace k gt q fin à droite. Où beta0 1. Nous allons maintenant générer des données simulées et l'utiliser pour créer des corrélogrammes. Cela rendra la formule ci-dessus plus concrète. Simulations et corrélogrammes Commençons par un processus MA (1). Si nous fixons beta1 0.6, nous obtenons le modèle suivant: Comme pour les modèles AR (p) de l'article précédent, nous pouvons utiliser R pour simuler une telle série et ensuite tracer le corrélogramme. Puisque nous avons eu beaucoup de pratique dans la série précédente d'article d'analyse de série chronologique d'accomplir des parcelles, j'écrirai le code de R dans le plein, plutôt que le fractionnement il: La sortie est comme suit: Comme nous l'avons vu ci-dessus dans la formule pour rhok , Pour k gt q, toutes les autocorrélations doivent être nulles. Puisque q 1, nous devrions voir un pic significatif à k1, puis des pics insignifiants à la suite de cela. Cependant, en raison du biais d'échantillonnage, nous devrions nous attendre à voir 5 pics (marginalement) significatifs sur un graphique d'autocorrélation d'échantillon. C'est précisément ce que le corrélogramme nous montre dans ce cas. Nous avons un pic significatif à k1 et ensuite des pics insignifiants pour k gt 1, sauf à k4 où nous avons un pic marginalement significatif. En fait, c'est une façon utile de voir si un modèle MA (q) est approprié. En examinant le corrélogramme d'une série particulière, nous pouvons voir combien de retards séquentiels différents de zéro existent. Si q ces décalages existent alors nous pouvons légitimement essayer d'adapter un modèle MA (q) à une série particulière. Puisque nous avons des preuves à partir de nos données simulées d'un processus MA (1), allions maintenant essayer d'adapter un modèle MA (1) à nos données simulées. Malheureusement, il n'y a pas une commande ma équivalente au modèle ar autorégressif commande dans R. Au lieu de cela, nous devons utiliser la commande arima plus générale et définir les composants autorégressifs et intégrés à zéro. Nous faisons ceci en créant un 3-vecteur et en mettant à zéro les deux premières composantes (les paramètres auto - gressifs et intégrés, respectivement): Nous recevons une sortie utile de la commande arima. Tout d'abord, nous pouvons voir que le paramètre a été estimé comme chapeau 0.602, ce qui est très proche de la vraie valeur de beta1 0.6. Deuxièmement, les erreurs-types sont déjà calculées pour nous, ce qui simplifie le calcul des intervalles de confiance. Troisièmement, nous recevons une variance estimée, la log-vraisemblance et le critère d'information Akaike (nécessaire pour la comparaison de modèle). La principale différence entre arima et ar est que arima estime un terme d'interception parce qu'il ne soustrait pas la valeur moyenne de la série. Par conséquent, nous devons être prudents lors de la réalisation des prédictions à l'aide de la commande arima. Eh bien revenir à ce point plus tard. Comme une vérification rapide allait calculer les intervalles de confiance pour chapeau: Nous pouvons voir que l'intervalle de confiance 95 contient la valeur de paramètre vrai de beta1 0.6 et donc nous pouvons juger le modèle un bon ajustement. Évidemment, cela devrait être prévu puisque nous avons simulé les données en premier lieu. Comment les choses changent-elles si nous modifions le signe de beta1 à -0.6 Laissons effectuer la même analyse: La sortie est la suivante: On peut voir que à k1 nous avons un Pic dans le corrélogramme, sauf qu'il montre une corrélation négative, comme l'attendent d'un MA (1) modèle avec négatif premier coefficient. Une fois de plus tous les pics au-delà de k1 sont insignifiants. Permet d'adapter un modèle MA (1) et d'estimer le paramètre: hat -0.730, ce qui est une petite sous-estimation de beta1 -0.6. Enfin, on calcule l'intervalle de confiance: on voit que la vraie valeur de paramètre de beta1-0.6 est contenue dans l'intervalle de confiance 95, ce qui nous permet de démontrer un bon ajustement du modèle. Permet d'exécuter la même procédure pour un processus MA (3). Cette fois, nous devrions nous attendre à des pics significatifs à k in et à des pics insignifiants pour k gt 3. Nous allons utiliser les coefficients suivants: beta1 0,6, beta2 0,4 et beta 3 0,2. Permet de simuler un processus MA (3) à partir de ce modèle. Ive a augmenté le nombre d'échantillons aléatoires à 1000 dans cette simulation, ce qui rend plus facile de voir la véritable structure d'autocorrélation, au détriment de rendre la série originale plus difficile à interpréter: La sortie est la suivante: Comme prévu les trois premiers pics sont significatifs . Cependant, il en est de même de la quatrième. Mais nous pouvons légitimement suggérer que cela peut être dû à biais d'échantillonnage comme nous nous attendons à voir 5 des pics étant significative au-delà kq. Laissons maintenant un modèle MA (3) aux données pour tenter d'estimer les paramètres: Les estimations hat 0.544, hat 0.345 et hat 0.298 sont proches des vraies valeurs de beta10.6, beta20.4 et beta30.3, respectivement. Nous pouvons également produire des intervalles de confiance en utilisant les erreurs-types respectives: Dans chaque cas, les 95 intervalles de confiance contiennent la vraie valeur de paramètre et nous pouvons conclure que nous avons un bon ajustement avec notre modèle MA (3), comme on peut s'y attendre. Données financières Dans la partie 1, nous avons considéré Amazon Inc. (AMZN) et SampP500 US Equity Index. Nous avons adapté le modèle AR (p) aux deux et avons constaté que le modèle était incapable de capturer efficacement la complexité de la corrélation sérielle, en particulier dans le cast du SampP500, où les effets de mémoire longue semblent être présents. Je ne tracerai pas les diagrammes de nouveau pour les prix et l'autocorrélation, au lieu de mal vous référer au poteau précédent. Amazon Inc. (AMZN) Commençons par essayer d'adapter une sélection de modèles MA (q) à AMZN, à savoir avec q in. Comme dans la partie 1, bien utiliser quantmod pour télécharger les prix quotidiens pour AMZN, puis de les convertir en un journal retourne le flux de prix de clôture: Maintenant que nous avons le flux de retour des journaux, nous pouvons utiliser la commande arima pour s'adapter MA (1), MA (2) et MA (3) et ensuite estimer les paramètres de chacun. Pour MA (1), on a: On peut tracer les résidus des rendements des journaux journaliers et du modèle ajusté: Notons que nous avons quelques pics significatifs aux décalages k2, k11, k16 et k18, indiquant que le modèle MA (1) est Peu susceptible d'être un bon ajustement pour le comportement de l'AMZN log retour, car cela ne ressemble pas à une réalisation de bruit blanc. Essayons un modèle MA (2): Les deux estimations des coefficients bêta sont négatives. Reprenons les résidus une fois de plus: on constate qu'il y a presque auto-corrélation dans les premiers décalages. Cependant, nous avons cinq pics légèrement significatifs aux décalages k12, k16, k19, k25 et k27. Cela suggère que le modèle MA (2) capture beaucoup de l'autocorrélation, mais pas tous les effets de mémoire longue. Que diriez-vous d'un modèle MA (3) Une fois de plus, nous pouvons tracer les résidus: Le graphique des résidus MA (3) semble presque identique à celui du modèle MA (2). Cela n'est pas surprenant, tout comme l'ajout d'un nouveau paramètre à un modèle qui a apparemment expliqué beaucoup de corrélations à des décalages plus courts, mais qui n'a pas beaucoup d'effet sur les retards à plus long terme. Toute cette évidence suggère le fait qu'un modèle MA (q) est improbable d'être utile pour expliquer toute la corrélation sérielle isolément. Au moins pour AMZN. SampP500 Si vous vous rappelez, dans la partie 1, nous avons vu que la structure de retour de journalisation différenciée de premier ordre du SampP500 possédait de nombreux pics significatifs à différents décalages, courts et longs. Ceci a fourni des preuves à la fois de l'hétéroscédasticité conditionnelle (c'est-à-dire du regroupement de volatilité) et des effets de mémoire longue. Cela nous amène à conclure que le modèle AR (p) était insuffisant pour capturer toute l'autocorrélation présente. Comme nous l'avons vu ci-dessus, le modèle MA (q) était insuffisant pour saisir une corrélation sérielle supplémentaire dans les résidus du modèle ajusté à la série de prix journaliers différenciés du premier ordre. Nous allons maintenant essayer d'adapter le modèle MA (q) au SampP500. On peut se demander pourquoi nous faisons cela si nous savons qu'il est peu probable que ce soit un bon ajustement. C'est une bonne question. La réponse est que nous devons voir exactement comment il n'est pas un bon ajustement, parce que c'est le processus ultime que nous suivrons lorsque nous rencontrer des modèles beaucoup plus sophistiqués, qui sont potentiellement plus difficiles à interpréter. Commençons par obtenir les données et la convertir en une série différenciée de premier ordre de prix de clôture quotidienne transformée logarithmiquement comme dans l'article précédent: Nous allons maintenant adapter un MA (1), MA (2) et modèle MA (3) à La série, comme nous l'avons fait ci-dessus pour AMZN. Commençons par MA (1): Lets faire un tracé des résidus de ce modèle ajusté: Le premier pic significatif se produit à k2, mais il ya beaucoup plus à k in. Ce n'est clairement pas une réalisation de bruit blanc et donc nous devons rejeter le modèle MA (1) comme un bon potentiel pour le SampP500. La situation s'améliore avec MA (2) Encore une fois, nous allons faire un tracé des résidus de ce modèle ajusté MA (2): Alors que le pic à k2 a disparu (comme nous l'attendons), on reste avec les pics significatifs à Beaucoup de retards plus longs dans les résidus. Une fois de plus, nous trouvons que le modèle MA (2) n'est pas un bon ajustement. Nous devrions nous attendre, pour le modèle MA (3), à voir moins de corrélation sérielle à k3 que pour la MA (2), mais encore une fois, nous devrions également nous attendre à aucune réduction de nouveaux décalages. Enfin, nous allons faire un tracé des résidus de ce modèle ajusté MA (3): C'est précisément ce que nous voyons dans le corrélogramme des résidus. Par conséquent, le MA (3), comme avec les autres modèles ci-dessus, n'est pas un bon ajustement pour le SampP500. Prochaines étapes Nous avons examiné maintenant en détail deux grands modèles de séries temporelles, à savoir le modèle Autogressif d'ordre p, AR (p) et ensuite Moyenne mobile d'ordre q, MA (q). Nous avons vu qu'ils sont tous deux capables d'expliquer une partie de l'autocorrélation dans les résidus des prix journaliers différenciés du premier ordre des actions et des indices, mais la volatilité et les effets de longue mémoire persistent. Il est enfin temps de tourner notre attention vers la combinaison de ces deux modèles, à savoir la moyenne mobile autorégressive d'ordre p, q, ARMA (p, q) pour voir si elle va améliorer la situation plus loin. Cependant, nous devrons attendre l'article suivant pour une discussion complète Cliquez ci-dessous pour en savoir plus. L'information contenue sur ce site web est l'opinion des auteurs individuels basée sur leur observation personnelle, leur recherche et leurs années d'expérience. L'éditeur et ses auteurs ne sont pas des conseillers en placement, des avocats, des CPA ou d'autres professionnels des services financiers enregistrés et ne rendent pas de conseils juridiques, fiscaux, comptables, de placement ou autres services professionnels. L'information offerte par ce site Web est seulement l'éducation générale. Parce que chaque situation factuelle des individus est différente, le lecteur devrait chercher son conseiller personnel. 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Le modèle de moyenne mobile du 1er ordre, noté MA (1) est (xt mu wt theta1w) Le modèle de moyenne mobile du 2 e ordre, noté MA (2) est (xt mu wt theta1w theta2w) , Désignée par MA (q) est (xt mu wt theta1w theta2w points thetaqw) Note. De nombreux manuels et programmes logiciels définissent le modèle avec des signes négatifs avant les termes. Cela ne modifie pas les propriétés théoriques générales du modèle, bien qu'il renverse les signes algébriques des valeurs des coefficients estimés et des termes (non carrés) dans les formules pour les ACF et les variances. Vous devez vérifier votre logiciel pour vérifier si des signes négatifs ou positifs ont été utilisés pour écrire correctement le modèle estimé. R utilise des signes positifs dans son modèle sous-jacent, comme nous le faisons ici. Propriétés théoriques d'une série temporelle avec un modèle MA (1) Notez que la seule valeur non nulle dans l'ACF théorique est pour le lag 1. Toutes les autres autocorrélations sont 0. Ainsi, un échantillon ACF avec une autocorrélation significative seulement au décalage 1 est un indicateur d'un modèle MA (1) possible. Pour les étudiants intéressés, les preuves de ces propriétés sont une annexe à ce document. Exemple 1 Supposons qu'un modèle MA (1) soit x t 10 w t .7 w t-1. Où (wt dépasse N (0,1)). Ainsi, le coefficient 1 0,7. L'ACF théorique est donné par un tracé de cette ACF. Le graphique qui vient d'être montré est l'ACF théorique pour un MA (1) avec 1 0,7. En pratique, un échantillon ne fournira habituellement qu'un tel motif clair. En utilisant R, nous avons simulé n 100 échantillons en utilisant le modèle x t 10 w t .7 w t-1 où w t iid N (0,1). Pour cette simulation, un schéma chronologique des données de l'échantillon suit. Nous ne pouvons pas dire beaucoup de cette intrigue. L'échantillon ACF pour les données simulées suit. Nous observons un pic au décalage 1 suivi par des valeurs généralement non significatives pour les décalages au-delà de 1. Notez que l'échantillon ACF ne correspond pas au modèle théorique du MA (1) sous-jacent, c'est-à-dire que toutes les autocorrélations Un échantillon différent aurait un ACF d'échantillon légèrement différent indiqué ci-dessous, mais aurait probablement les mêmes caractéristiques générales. Propriétés théoriques d'une série temporelle avec un modèle MA (2) Pour le modèle MA (2), les propriétés théoriques sont les suivantes: Noter que les seules valeurs non nulles dans l'ACF théorique sont pour les lags 1 et 2. Les autocorrélations pour les décalages supérieurs sont 0 . Ainsi, un échantillon ACF avec des autocorrélations significatives aux décalages 1 et 2, mais des autocorrélations non significatives pour des décalages plus élevés indique un modèle MA (2) possible. Iid N (0,1). Les coefficients sont 1 0,5 et 2 0,3. Parce qu'il s'agit d'une MA (2), l'ACF théorique aura des valeurs non nulles uniquement aux lags 1 et 2. Les valeurs des deux autocorrélations non nulles sont: Un tracé de la théorie ACF suit. Comme presque toujours le cas, les données d'échantillon ne se comporteront pas aussi parfaitement que la théorie. Nous avons simulé n 150 échantillons pour le modèle x t 10 w t .5 w t-1 .3 w t-2. Où w t iid N (0,1). Le tracé de la série chronologique des données suit. Comme avec le graphique de la série temporelle pour les données d'échantillon MA (1), vous ne pouvez pas en dire beaucoup. L'échantillon ACF pour les données simulées suit. Le modèle est typique pour les situations où un modèle MA (2) peut être utile. Il y a deux pointes statistiquement significatives aux écarts 1 et 2, suivies des valeurs non significatives pour les autres retards. Notez qu'en raison de l'erreur d'échantillonnage, l'ACF de l'échantillon ne correspondait pas exactement au modèle théorique. ACF pour les modèles General MA (q) Une propriété des modèles MA (q) en général est qu'il existe des autocorrélations non nulles pour les q premiers lags et autocorrélations 0 pour tous les retards gt q. Non-unicité de la connexion entre les valeurs de 1 et (rho1) dans MA (1) Modèle. Dans le modèle MA (1), pour toute valeur de 1. La valeur réciproque 1 1 donne la même valeur pour. Par exemple, utilisez 0,5 pour 1. Puis utilisez 1 (0,5) 2 pour 1. Vous obtiendrez (rho1) 0,4 dans les deux cas. Pour satisfaire une restriction théorique appelée invertibilité. Nous limitons les modèles MA (1) à des valeurs dont la valeur absolue est inférieure à 1. Dans l'exemple donné, 1 0,5 sera une valeur de paramètre admissible, alors que 1 10,5 2 ne le sera pas. Invertibilité des modèles MA Un modèle MA est dit inversible s'il est algébriquement équivalent à un modèle d'ordre infini convergent. En convergeant, nous voulons dire que les coefficients AR décroissent à 0 lorsque nous retournons dans le temps. Invertibilité est une restriction programmée dans le logiciel de séries temporelles utilisé pour estimer les coefficients de modèles avec des termes MA. Ce n'est pas quelque chose que nous vérifions dans l'analyse des données. Des informations supplémentaires sur la restriction d'inversibilité pour les modèles MA (1) sont données en annexe. Théorie avancée. Pour un modèle MA (q) avec un ACF spécifié, il n'existe qu'un seul modèle inversible. La condition nécessaire à l'inversibilité est que les coefficients ont des valeurs telles que l'équation 1- 1 y-. - q y q 0 a des solutions pour y qui tombent en dehors du cercle unitaire. Code R pour les exemples Dans l'exemple 1, nous avons représenté l'ACF théorique du modèle x t 10 w t. 7w t-1. Puis a simulé n 150 valeurs à partir de ce modèle et a représenté graphiquement la série chronologique de l'échantillon et l'échantillon ACF pour les données simulées. Les r commandes utilisées pour tracer l'ACF théorique sont: acfma1ARMAacf (mac (0.7), lag. max10) 10 lags de ACF pour MA (1) avec theta1 0.7 lags0: 10 crée une variable nommée lags qui va de 0 à 10. plot Abline (h0) ajoute un axe horizontal à la trame La première commande détermine l'ACF et la stocke dans un objet (a0) Nommée acfma1 (notre choix de nom). La commande plot (la 3ème commande) trace des retards par rapport aux valeurs ACF pour les lags 1 à 10. Le paramètre ylab étiquette l'axe y et le paramètre principal place un titre sur la trame. Pour voir les valeurs numériques de l'ACF, utilisez simplement la commande acfma1. La simulation et les parcelles ont été effectuées avec les commandes suivantes. (X, typeb, mainSimulated MA (1) data) xcarima. sim (n150, list (mac (0.7))) Simule n 150 valeurs de MA (1) xxc10 ajoute 10 pour faire la moyenne 10. La simulation (X, xlimc (1,10), mainACF pour des données d'échantillon simulées) Dans l'exemple 2, nous avons représenté graphiquement l'ACF théorique du modèle xt 10 wt.5 w t-1 .3 w t-2. Puis a simulé n 150 valeurs à partir de ce modèle et a représenté graphiquement la série chronologique de l'échantillon et l'échantillon ACF pour les données simulées. Les ordres R utilisés étaient: ACFma2ARMAacf (mac (0,5,0,3), lag. max10) acfma2 lags0: 10 tracé (lags, acfma2, xlimc (1,10), ylabr, typeh, ACF principal pour MA (2) avec theta1 0,5, (X, typeb, principale série MA (2) simulée) acf (x, xlimc (1,10), x2) (1) Pour les étudiants intéressés, voici des preuves des propriétés théoriques du modèle MA (1). Lorsque x 1, l'expression précédente 1 w 2. Pour tout h 2, l'expression précédente 0 (x), x, x, x, x, x, La raison en est que, par définition de l'indépendance du wt. E (w k w j) 0 pour tout k j. En outre, parce que w t ont une moyenne 0, E (w j w j) E (w j 2) w 2. Pour une série chronologique, appliquer ce résultat pour obtenir l'ACF ci-dessus. Un modèle inversible MA est celui qui peut être écrit comme un modèle AR d'ordre infini qui converge de sorte que les coefficients AR convergent vers 0 alors que nous avançons infiniment dans le temps. Bien démontrer l'inversibilité pour le modèle MA (1). On substitue alors la relation (2) pour w t-1 dans l'équation (1) (3) (zt wt theta1 (z - theta1w) wt theta1z - theta2w) Au temps t-2. L'équation (2) devient Nous substituons alors la relation (4) pour w t-2 dans l'équation (3) (zt wt theta1 z - theta21w wt theta1z - theta21 (z - theta1w) wt theta1z - theta12z theta31w) Si nous devions continuer On notera cependant que si 1 1, les coefficients multipliant les décalages de z augmentent (infiniment) de la taille à mesure que l'on se déplace vers l'arrière temps. Pour éviter cela, nous avons besoin de 1 lt1. C'est la condition pour un modèle inversible MA (1). Infinite Order MA model Dans la semaine 3, voyez bien qu'un modèle AR (1) peut être converti en un modèle d'ordre infini MA: (xt - mu wt phi1w phi21w points phik1 w dots sum phij1w) Cette sommation des termes de bruit blanc passé est connue Comme la représentation causale d'un AR (1). En d'autres termes, x t est un type spécial de MA avec un nombre infini de termes revenant dans le temps. C'est ce qu'on appelle un ordre infini MA ou MA (). Un ordre fini MA est un ordre infini AR et tout ordre fini AR est un ordre infini MA. Rappelons à la semaine 1, nous avons noté qu'une exigence pour un AR stationnaire (1) est que 1 lt1. Calculons le Var (x t) en utilisant la représentation causale. Cette dernière étape utilise un fait de base sur les séries géométriques qui nécessite (phi1lt1) sinon la série diverge. NavigationMoving Moyenne - MA BREAKING DOWN Moyenne mobile - MA Comme exemple de SMA, considérez un titre avec les cours de clôture suivants sur 15 jours: Semaine 1 (5 jours) 20, 22, 24, 25, 23 Semaine 2 (5 jours) 26, 28, 26, 29, 27 Semaine 3 (5 jours) 28, 30, 27, 29, 28 Une MA de 10 jours calcule les prix de clôture pour les 10 premiers jours comme premier point de données. Le prochain point de données laisserait tomber le premier prix, ajoute le prix au jour 11 et prend la moyenne, et ainsi de suite comme montré ci-dessous. Comme on l'a noté plus haut, les AM retardent l'action actuelle du prix parce qu'elles sont basées sur des prix passés, plus la période de l'AM est longue, plus le décalage est important. Ainsi, un MA de 200 jours aura un décalage beaucoup plus grand que d'une MA de 20 jours, car il contient des prix pour les 200 derniers jours. La durée de la MA à utiliser dépend des objectifs de négociation, avec plus courte MA utilisés pour les transactions à court terme et à plus long terme MA plus adaptés pour les investisseurs à long terme. La MA de 200 jours est largement suivie par les investisseurs et les commerçants, avec des ruptures au-dessus et en dessous de cette moyenne mobile considérés comme des signaux commerciaux importants. Les MA confèrent également des signaux commerciaux importants seuls, ou lorsque deux moyennes se croisent. Une augmentation MA indique que la sécurité est dans une tendance haussière. Tandis qu'un MA en déclin indique qu'il est dans une tendance baissière. De même, la dynamique ascendante est confirmée par un croisement haussier. Qui se produit quand un MA à court terme traverse au-dessus d'un MA à plus long terme. Le momentum descendant est confirmé par un croisement baissier, qui se produit quand un MA à court terme traverse un MA à plus long terme.